01背包问题

题目

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1 \le T \le 1000$）和 $M$（$1 \le M \le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30%$ 的数据，$M \le 10$；
• 对于全部的数据，$M \le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    long long int t, num,i;
    cin >> t>> num;
    long long int time[num+1],value[num+1],best[t+1][num+1];
    long long int ii;
    for (i = 1;i<num+1;i++)
    {
        cin >> time[i] >> value[i];
    }
    for (i = 0; i < t+1;i++){
        for (ii = 0; ii < num+1;ii++){
            best[i][ii] = 0;
        }
    }
    for (i = 1; i < t+1; i++)
    {
        for (ii = 1; ii < num+1; ii++)
        {
            if (i < time[ii])
            {
                // 总时间少于草药ii
                best[i][ii] = best[i][ii-1];
            }
            else{
                //best[i][ii]表示在总时间i内，草药0 - ii内的最大价值
                //总时间大于草药ii
                //左边为不含草药ii，右边的为包含草药ii
                best[i][ii] = max(best[i][ii-1], best[i - time[ii]][ii-1] + value[ii]);
            }
        }
    }
    cout << best[t][num];
    return 0;
}

---

思路与问题：

1. 这是一个01背包问题
2. 总体思路：使用一个二维数组，不断遍历重量和物品数，实现总时间复杂度$O(nm)$。
3. 实际编程问题：注意边界，因为递推公式的存在，因此需要将边界0作为0的基准，而1-n/1-m存放实际的物品和重量